数列的通项公式

揭示数列奥秘：从规律中通项公式

我们仔细观察了这一数列：3，5，9，15，23，…… 。每一个数字背后似乎隐藏着某种规律。当我们计算相邻两项之间的差时，得到了一个等差数列：2，4，6，8，…… ，这个新数列的公差为2。由此，我们可以判断原数列是一个二阶等差数列。

为了更深入地这个数列的秘密，我们假设其通项公式为一个二次多项式，形如 \\( a(n) = an^2 + bn + c \\)。这个公式看似复杂，但其实隐藏着数列的内在规律。接下来，我们将通过代入数列的前几项数值来求解这个公式的具体参数。

当 \\( n = 1 \\) 时，我们有 \\( a(1) = a + b + c = 3 \\)。而当 \\( n = 2 \\) 和 \\( n = 3 \\) 时，我们可以得到另外两个方程。通过解这三个方程，我们可以得到参数a、b和c的值。经过一系列的计算，我们得到a的值是1，b的值是-1，c的值是3。这意味着我们的通项公式为 \\( a(n) = n^2 - n + 3 \\)。

那么，这个公式是否准确呢？我们通过验证数列的后续项来检验。当 \\( n = 4 \\) 时，计算结果为15；当 \\( n = 5 \\) 时，计算结果为23；当 \\( n = 6 \\) 时，计算结果为33。这些计算结果与原数列的后续项完全一致，证明了我们的通项公式是正确的。

最终，我们可以骄傲地宣布，这个数列的通项公式是：\\(\\boxed{n^2 - n + 3}\\)。这一公式不仅揭示了数列的内在规律，也展示了数学的魅力和力量。